Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Buchberger's algorithm Αλγόριθμος Μπούχμπεργκερ

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη θεωρία των πολυμεταβλητών πολυωνύμων, ο αλγόριθμος Μπούχμπεργκερ είναι μια μέθοδος για τη μετατροπή ενός δεδομένου συνόλου πολυωνύμων σε μια βάση Γκρέμπνερ, η οποία είναι ένα άλλο σύνολο πολυωνύμων που έχουν τα ίδια κοινά μηδενικά και είναι πιο κατάλληλο για την εξαγωγή πληροφοριών σχετικά με αυτά τα κοινά μηδενικά. Εισήχθη από τον Μπρούνο Μπούχμπεργκερ ταυτόχρονα με τον ορισμό των βάσεων Γκρέμπνερ.

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη πολυωνύμων και η απαλοιφή γραμμικών συστημάτων κατά Γκάους είναι ειδικές περιπτώσεις του αλγορίθμου του Μπούχμπεργκερ όταν ο αριθμός των μεταβλητών ή οι βαθμοί των πολυωνύμων είναι αντίστοιχα ίσοι με ένα.

Για άλλους αλγορίθμους της βάσης Γκρέμπνερ, βλέπε βάση Γκρέμπνερ § Αλγόριθμοι και υλοποιήσεις.

Δέσμημα γραμμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δέσμημα κύκλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Προβολικός χώρος κύκλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δέσμημα σφαιρών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δέσμημα των κωνικών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια (μη εκφυλισμένη) κωνική προσδιορίζεται πλήρως από πέντε σημεία σε γενική θέση (όχι τρία συγγραμμικά) σε ένα επίπεδο και το σύστημα των κωνικών που περνούν από ένα σταθερό σύνολο τεσσάρων σημείων (πάλι σε επίπεδο και όχι τρία συγγραμμικά)) ονομάζεται δέσμημα κωνικών^[1]. Τα τέσσερα κοινά σημεία ονομάζονται σημεία βάσης του δεσμήματος. Από οποιοδήποτε σημείο εκτός από ένα σημείο βάσης, διέρχεται μία μόνο κωνική του δεσμήματος. Η έννοια αυτή γενικεύει το δέσμημα κύκλων.

Σε ένα προβολικό επίπεδο που ορίζεται πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο, οποιεσδήποτε δύο κωνικές συναντώνται σε τέσσερα σημεία (υπολογίζονται με πολλαπλότητα) και έτσι, προσδιορίζεται το δέσμημα των κωνικών με βάση αυτά τα τέσσερα σημεία. Επιπλέον, τα τέσσερα σημεία βάσης προσδιορίζουν τρία ζεύγη γραμμών (εκφυλισμένες κωνικές μέσω των σημείων βάσης, κάθε γραμμή του ζεύγους περιέχει ακριβώς δύο σημεία βάσης) και έτσι κάθε δέσμημα κωνικών θα περιέχει το πολύ τρεις εκφυλισμένες κωνικές^[2].

Ένα δέσμημα κωνικών μπορεί να αναπαρασταθεί αλγεβρικά με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω $C 1$ και $C 2$ δύο διαφορετικές κωνικές σε ένα προβολικό επίπεδο που ορίζεται πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο $K$ . Για κάθε ζεύγος $λ, μ$ στοιχείων του $K$ , που δεν είναι και τα δύο μηδενικά, ισχύει η έκφραση:

\lambda C_{1}+\mu C_{2}

αντιπροσωπεύει μια κωνική στο δέσμημα που καθορίζεται από τα $C 1$ και $C 2$ . Αυτή η συμβολική αναπαράσταση μπορεί να υλοποιηθεί με μια μικρή κατάχρηση της σημειογραφίας (χρησιμοποιώντας την ίδια σημειογραφία για τον προσδιορισμό του αντικειμένου και της εξίσωσης που ορίζει το αντικείμενο). Αν θεωρήσουμε το $C 1$ , λόγου χάριν, ως μια τριμερή τετραγωνική μορφή, τότε το $C 1 = 0$ είναι η εξίσωση της "κωνικής $C 1$ ". Μια άλλη έμπρακτη υλοποίηση θα μπορούσε να προκύψει αν θεωρούσαμε το $C 1$ ως τον συμμετρικό πίνακα 3×3 που το αναπαριστά. Εάν οι $C 1$ και $C 2$ έχουν τέτοιες συγκεκριμένες υλοποιήσεις, τότε το ίδιο θα κάνει και κάθε μέλος του παραπάνω μολυβιού. Εφόσον το πλαίσιο χρησιμοποιεί ομογενείς συντεταγμένες σε προβολικό επίπεδο, δύο συγκεκριμένες αναπαραστάσεις (εξισώσεις ή πίνακες) δίνουν την ίδια κωνική αν διαφέρουν κατά μια μη μηδενική πολλαπλασιαστική σταθερά.

Δέσμημα επίπεδων καμπυλών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικότερα, ένα δέσμημα είναι η ειδική περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος διαιρετών στο οποίο ο χώρος των παραμέτρων είναι μια προβολική γραμμή. Τυπικά δεσμήματα καμπυλών στο προβολικό επίπεδο, παραδείγματος χάριν, γράφονται ως εξής

\lambda C+\mu C'=0\,

όπου $C = 0$ , $C' = 0$ είναι επίπεδες καμπύλες.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον Ντεσαργκ αποδίδεται η επινόηση της έκφρασης "ordonnance de lignes" ^[3].

Ένας από τους πρώτους συγγραφείς της σύγχρονης προβολικής γεωμετρίας, ο G. B. Halsted (Χαλστεντ)^[4], εισήγαγε τους όρους "συνευθεία" και "επίπεδο δέσμημα" για να ορίσει τη γωνία: Οι ευθείες που διαθέτουν την ίδια διασταύρωση είναι συνευθεία. Το σύνολο όλων των συνεπίπεδων και συνεπίπεδων ευθειών ονομάζεται επίπεδο δέσμημα" και "Ένα κομμάτι του επίπεδου μολυβιού που οριοθετείται από δύο από τις ευθείες ως πλευρές ονομάζεται γωνία"^[5].

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Albert, Abraham Adrian (2016), Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Artin, E. (1957), Geometric Algebra, Interscience Publishers
Faulkner, T. E. (1952), Projective Geometry (2nd έκδοση), Edinburgh: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893, https://books.google.com/books?id=3TwCIg_O2yMC
Halsted, George Bruce (1906), Synthetic Projective Geometry, New York Wiley, https://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft
Johnson, Roger A. (2007), Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
Pedoe, Dan (1988), Geometry /A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Pfeifer, Richard E.; Van Hook, Cathleen (1993), «Circles, Vectors, and Linear Algebra», Mathematics Magazine 66 (2): 75–86, doi:10.2307/2691113
Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Undergraduate Texts in Mathematic (Readings in Mathematics), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4, https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu
Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dover, σελ. 8–10 .
Young, John Wesley (1971), Projective Geometry, Carus Monograph #4, Mathematical Association of America
Woods, Frederick S. (1961), Higher Geometry / An introduction to advanced methods in analytic geometry, Dover

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Commutative Ring Theory
Rings Close to Regular
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Faulkner 1952, pg. 64.
↑ Samuel 1988, pg. 50.
↑ Earliest Known Uses of Some Words of Mathematics, http://jeff560.tripod.com/p.html, ανακτήθηκε στις July 14, 2020
↑ «George Halsted - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Μαΐου 2024.
↑ Halsted 1906, σελ. 9

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]